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\subsection*{1.12. French}

\textbf{Théorème 1.12. (N. Katz)}
Sous les hypothèses de 1.9, on a 
\begin{enumerate}
\item[(i)] Pour que la connexion $\nabla$ soit régulière, il faut et il suffit que $V$ admette

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une base $e$ telle que la matrice de la connexion, dans cette base, soit une matrice de forme différentielles présentant au pis des pôles simples.

\item[(ii)] Pour que la connexion $\nabla$ soit irrégulière, et vérifie une majoration (1.9.2) pour $r = a/b > 0$, il faut et il suffit qu'après le changement d'anneaux de $\Theta$ à $\Theta' = \Theta[t^b]$, et pour la valuation naturelle, à valeurs dans $\mathbb{Z}$, de $\Theta'$, $V$ admette une base $e$ telle que la matrice de la connexion, dans cette base, présente un pôle d'ordre $a+1$, et que la partie polaire d'ordre $a+1$ de cette matrice (matrice dans $M_n(k)$ déterminée à un facteur près) soit non nilpotente.
\end{enumerate}

Par extension des scalaires, le nombre $r$ tel que $\nabla$ vérifie (1.9.2) est multiplié par l'indice de ramification. Ceci nous ramène au cas où $b = 1$. Les conditions de (i) et (ii) sont alors suffisantes, d'après 1.9.6. Réciproquement, soit $v$ un vecteur cyclique (1.3), $t$ une uniformisante et $\tau \in \Omega'^*$ de valuation $1$. Il résulte des démonstrations de 1.9.6 et 1.10 que la base $e_i = t^{ri} \nabla_\tau^i v$ ($0 \leq i < \dim V$) vérifie (i) ou (ii).

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\subsection*{1.12. English}

\textbf{Theorem 1.12. (N. Katz)}
Under the hypotheses of 1.9, the following hold:

\begin{enumerate}
\item[(i)] The connection $\nabla$ is regular if and only if $V$ admits

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a basis $e$ such that the connection matrix, in this basis, consists of differential forms having at worst simple poles.

\item[(ii)] The connection $\nabla$ is irregular and satisfies an estimate of type (1.9.2) with $r = a/b > 0$ if and only if, after extending scalars from $\Theta$ to $\Theta' = \Theta[t^{1/b}]$, and considering the natural valuation on $\Theta'$ with values in $\mathbb{Z}$, the module $V$ admits a basis $e$ such that the connection matrix in this basis has a pole of order $a+1$, and the polar part of order $a+1$ of this matrix (a matrix in $M_n(k)$, defined up to a scalar factor) is non-nilpotent.
\end{enumerate}

By scalar extension, the number $r$ for which $\nabla$ satisfies (1.9.2) is multiplied by the ramification index. This reduces us to the case where $b = 1$. In this case, the conditions in (i) and (ii) are sufficient by Lemma 1.9.6. Conversely, let $v$ be a cyclic vector (Lemma 1.3), $t$ a uniformizer, and $\tau \in \Omega'^*$ of valuation $1$. It follows from the proofs of Lemmas 1.9.6 and 1.10 that the basis $e_i = t^{r i} \nabla_\tau^i v$ ($0 \leq i < \dim V$) satisfies (i) or (ii).
